软件测试悖论之Braess悖论

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       关于 Braess 悖论的原始工作是 Dietrich Braess 的“ über ein Paradox der Verkerhsplannung ”（ 1968 ）。而我的例子，是基于我发现的几个例子，这几个例子对 Mark Wainwright 的工作作出了贡献。当时我不能亲自参加到 Wainwright 的原始工作中。

　　Braess 悖论相当复杂，所以这里我给一个简化的、离散近似。假设象图 5 中显示的一样有四个城镇——城镇 A ，城镇 B ，城镇 C 和城镇 D 。

　　连接任意两个城镇之间的每一条路都有一个关联成本，由图中与路相邻的方程给出。成本是陆上汽车数的函数。你能想象成本代表了在这条路上行驶所需要的时间，或者所需要的汽油，或者你们想要最小化的某些因素。现在假设某一个早晨，有 6 辆车从城镇 A 离开，每次一辆，目的都是城镇 D 。汽车 1 离开的时候，路上完全是空的。该车可以从两条路径中选择： A-B-D 和 A-C-D 。 A-B-D 的成本是 [4(1) + 1] + [1 + 16] = 22 。由于该图的对称性，路径 A-C-D 的成本也是 22 。假设汽车 1 选择了路径 A-B-D 。

 　

　　图5 公路网络： Braess 悖论

　　现在汽车 2 准备离开了。他看到汽车 1 在路径 A-B-D 上，因此知道了现在 A-B-D 上的成本是 [4(2) + 1] + [2 + 16] = 27 ，所以他选择了成本只有 22 的路径 A-C-D 。汽车 3 看到每条路径上都有一辆车，所以选择了成本是 27 的路径 A-B-D 。汽车 4 选择了成本是 27 的路径 A-C-D 。汽车 5 看到四辆车是均匀分布的，他选择了路径 A-B-C ，成本是 [4(3) + 1] + [3 + 16] = 32 。最后，汽车 6 选择了成本是 32 的路径 A-C-D 。现在所有六辆车都在从城镇 A 到城镇 D 的某一条路径上。因为每一条路径上有三辆车，而两条路径是对称的，每辆车的成本是 32 。

　　这是 Braess 悖论出现的地方。如果在城镇 B 和城镇 C 之间增加一条新的、有效的路径，你认为会出现怎样的结果？常识是，增加道路容量会降低司机们的成本。但是既然这种现象被叫做“ Braess 悖论”而不是“ Braess 常识”，你应该猜到实际发生的并不是如此。

　　假设修改图 5 中的地图，在城镇 B 和城镇 C 之间增加了一条高效快捷路径，它的成本函数是一个常数 1 。在加入了快捷路径的第一个早晨，汽车 1 准备离开城镇 A 。他有四种可能路径选择，各条路经的关连成本如下：

  A-B-D cost = [4(1) + 1] + [1 + 16] = 22
  A-C-D cost = [1 + 16] + [4(1) + 1] = 22
  A-B-C-D cost = [4(1) + 1] + 1 + [4(1) + 1] = 11
  A-C-B-D cost = [1 + 16] + 1 + [1 + 16] = 35

 

　　这是很有希望的。汽车 1 选择了路径 A-B-C-D ，通过快捷路径来显著降低他的交通成本——至少暂时如此。汽车 2 准备离开了。他看到汽车 1 选择了路径 A-B-C-D ，于是分析他的可能成本：

  A-B-D cost = [4(2) + 1] + [1 + 16] = 26
  A-C-D cost = [1 + 16] + [4(2) + 1] = 26
  A-B-C-D cost = [4(2) + 1] + 1 + [4(2) + 1] = 19
  A-C-B-D cost = [1 + 16] + 1 + [1 + 16] = 35

 

　　经过快速数学计算之后，汽车２页选择了路径 A-B-C-D 。尽管汽车 1 已经在这条路径上了，快捷路径的有效性仍然使得它是汽车 2 的最好选择。

　　现在汽车 3 准备离开了，他的选择是：

  A-B-D cost = [4(3) + 1] + [1 + 16] = 30
  A-C-D cost = [1 + 16] + [4(3) + 1] = 30
  A-B-C-D cost = [4(3) + 1] + 1 + [4(3) + 1] = 27
  A-C-B-D cost = [1 + 16] + 1 + [1 + 16] = 35

 

　　再次，这个快捷路径 A-B-C-D 是最好的选择。汽车 4 准备离开城镇 A ，观察了钱三个司机的决定，算出了他自己的成本：

  A-B-D cost = [4(4) + 1] + [1 + 16] = 34
  A-C-D cost = [1 + 16] + [4(4) + 1] = 34
  A-B-C-D cost = [4(4) + 1] + 1 + [4(4) + 1] = 35
  A-C-B-D cost = [1 + 16] + 1 + [1 + 16] = 35

 

　　快捷路径上目前的交通使得 A-B-C-D 比路径 A-B-D 和 A-C-D 的成本要高。假设汽车 4 选择了路径 A-B-C （如果汽车 4 选择了 A-C-D ，细节会有一点不同，但是总的结果是一样的）。

　　汽车 5 现在准备离开了，他分析了他的选择：

  A-B-D cost = [4(5) + 1] + [2 + 16] = 39
  A-C-D cost = [1 + 16] + [4(4) + 1] = 34
  A-B-C-D cost = [4(5) + 1] + 1 + [4(4) + 1] = 39
  A-C-B-D cost = [1 + 16] + 1 + [2 + 16] = 36

 

　　因此汽车 5 决定选择路径 A-C-D 。最后一辆车，汽车 6 ，现在准备离开了，他观察了前面 5 个司机的决定，做出了他自己的分析：

  A-B-D cost = [4(5) + 1] + [2 + 16] = 39
  A-C-D cost = [2 + 16] + [4(5) + 1] = 39
  A-B-C-D cost = [4(5) + 1] + 1 + [4(5) + 1] = 43
  A-C-B-D cost = [2 + 16] + 1 + [2 + 16] = 37

 

　　汽车 6 选择了路径 A-C-B-D ，因为这是成本最低的。现在 6 辆车都在路上了，你可以算出每辆车的成本。

  Car 1 route A-B-C-D, cost = [4(4) + 1] + 1 + [4(4) + 1] = 35
  Car 2 route A-B-C-D, cost = [4(4) + 1] + 1 + [4(4) + 1] = 35
  Car 3 route A-B-C-D, cost = [4(4) + 1] + 1 + [4(4) + 1] = 35
  Car 4 route A-B-D, cost = [4(4) + 1] + [1 + 16] = 34
  Car 5 route A-C-D, cost = [2 + 16] + [4(4) + 1] = 35
  Car 6 route A-C-B-D, cost = [2 + 16] + 1 + [1 + 16] = 36

 

　　回忆一下，如果没有这条快速路，每辆车的成本是 32 。现在增加了额外公路容量，我们却增加每个司机的成本！

　　这个例子提供了一个对 Braess 悖论的实际接触。因为这和网络系统上所传输的数据包有明显的关系， Braess 悖论受到了研究人员的深入研究。你能非正式的总结这个悖论：有时候增加节点之间的路径数反而会增加网络拥塞。从软件测试角度来说， Braess 悖论会在进行网络性能测试的时候出现。老实说，你碰到 Braess 悖论的机会很少。但是这个现象确实存在。启示是，你不应该假设增加网络容量就会提高性能。如果你增加了容量但是没有看到你所期望的性能提高， Braess 悖论就是应该去调查的。

原文转自：http://www.ltesting.net