我想实现一个 Choose(n,k) 函数，它返回组合元素的个数;Choose(5,3) 返回10。查找现有的Choose 实现，我惊讶地发现 Internet 上的大多数算法都很不耐用。在我向你展示我的 Choose 实现之前，让我们简要地审视一下 Choose 函数的标准实现。
编写 Choose(n,k) 函数的标准方法是直接使用其定义公式。这是一个明显的但是拙劣解决方案。这里是一个用 C# 编码的典型 Choose(n,k) 函数 ：
// poor implementation of Choose(n,k) static int Choose(int n, int k) { int numerator = Factorial(n); int denominator = Factorial(k) * Factorial(n-k); return ( numerator / denominator ); } 辅助函数 Factorial 的实现如下： static int Factorial(int m) { int ans = 1; for (int i = m; i >= 1; —i) { ans = ans * i; } return ans; }
这里的 Choose(n,k) 实现有几个问题：最严重的是它会因为当 n 和 k 的值十分小时而溢出。注意这个 Choose(n,k) 首先计算 Factorial(n)， 即便 n 是一个很小的值，它也会迅速增大到一个非常大的数 ( 比如，21! 将溢出一个无符号的 64 位数)。其次 Choose(n,k) 的值由两个阶乘的乘积 来除，这也可能成为一个非常大的数，得出的结果可能非常小。关键是即使 Choose(n,k) 返回的结果很小，中间计算结果很容易溢出。
一个更好的 Choose(n,k) 实现使用一个不同的方法计算其答案。改版的 Choose(n,k) 使用以下不同的公式来计算：
Choose(n,k) = (n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1)) / ( 1 * 2 * ... * k)
这个算法看起来很丑，但用一个例子来说明就知道，它更容易理解： Choose(7,3) = (7 * 6 * 5) / (1 * 2 * 3)
这个算法取代了原来计算分子(一个大数)，然后计算分母(一个大数)，然后相除，你可以计算部分乘积法并随意进行除法运算。对于 Choose(7,3) 例子，你 先计算 7 * 6 并除以 2，得到 21(译注：原文为“getting 24”显然不对，7 * 6/2=21)(跳过此分数下面部分的第1项，因为被1除是没有作用的)。这时用5乘以部分乘积并用3除，你可以得到答案35， 和前面的结果一样。
这里对 Choose(n,k) 的第二次优化是由以下特性产生的：
Choose(n,k) = Choose(n, n-k).
举个例子，Choose(10,8) = Choose(10,2)。这不是一个明显的关系，但是如果你用一些例子来试验的话，你将看到为什么这是对的。直接计算 Choose(10,8) 之间涉及到计算七个部分乘积和七个除法，但是计算等价的 Choose(10,2) 只要求一个乘法和一个除法操作。
综上所述，我实现的 Choose(n,k) 如 Figure 5 所示。在 Choose 函数中，我对 n 等于 k 的情况进行了快速检查，如果为真，则返回 1。而 Choose 算法中没有对之进行检查，但它改进了生成特定 Combination 对象元素的方法性能。Choose 实现的剩余部分用我刚刚解释的算法计算元素的总数。
生成所有组合元素
组合的第三个基本操作是根据给定条目个数 n 和子集大小 k 生成一个所有组合元素的清单。正如前面所示的 Choose 函数的问题一样，Internet 上找到的 并不是最优方案。让我们简单看看一个典型的情况：给定 n 和 k 值，生成所有组合元素的解决方案，并且我将改进它。
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